Στον κάδο του μίξερ βάζουμε 400 γραμμ. από το αλεύρι μας. Το υπόλοιπο το κρατάμε στην άκρη και το προσθέτουμε στη ζύμη μας, εάν χρειαστεί.
Προσθέτουμε τη μαγιά, τη ζάχαρη, το αλάτι και ανακατεύουμε.
Ανοίγουμε μία λακουβίτσα στη μέση και μέσα ρίχνουμε το χτυπημένο αυγό, το λιωμένο βούτυρο, το χλιαρό νερό και γάλα και με το μίξερ, στο οποίο έχουμε βάλει τα εξαρτήματα για ζύμες, χτυπάμε καλά.
Αποσύρουμε το μίξερ, προσθέτουμε λίγο λίγο το υπόλοιπο αλεύρι και ζυμώνουμε με τα χέρια μας μέχρι να γίνει μία ζύμη μαλακιά και ελαστική, που να μην κολλάει στα χέρια μας.
Βάζουμε την έτοιμη ζύμη σε ένα βαθύ σκεύος, το οποίο πρώτα έχουμε λαδώσει, την σκεπάζουμε με πλαστική μεμβράνη και μία πετσέτα και την αφήνουμε να φουσκώσει και να διπλασιάσει τον όγκο της για τουλάχιστον μία ώρα.
Μόλις η ζύμη είναι έτοιμη, τη βάζουμε πάνω στο αλευρωμένο πάγκο της κουζίνας, την ξαναζυμώνουμε για μερικά λεπτά και με τον πλάστη την ανοίγουμε σε φύλλο ούτε πολύ λεπτό, ούτε χοντρό.
Με ένα νεροπότηρο ή με κουπ πατ, κόβουμε κύκλους. Στους μισούς από αυτούς ακριβώς στη μέση βάζουμε από μία κουταλιά μαρμελάδα (σφιχτή, να μην έχει υγρά) ή πραλίνα σοκολάτα.
Βάζουμε λίγο νερό σε ένα μπολάκι και με το δάχτυλό μας βρέχουμε γύρω γύρω κάθε έναν κύκλο, που έχει γέμιση.
Παίρνουμε τους άδειους κύκλους και τους κολλάμε ομοιόμορφα πάνω από αυτούς με γέμιση, πατώντας απαλά με τα δάχτυλα μας τις άκρες.
Ξαναζυμώνουμε ελαφριά τη ζύμη που μας έχει περισσέψει και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία.
Τοποθετούμε τα γεμιστά ντόνατς σε δύο ταψιά με λαδόκολλα, σε απόσταση το ένα από το άλλο και τους αφήνουμε για τουλάχιστον 30’ να φουσκώσουν.
Σε ένα βαθύ και μεγάλο τηγάνι βάζουμε μπόλικο λάδι (σπορέλαιο ή καλαμποκέλαιο) και σε μέτρια φωτιά το ζεσταίνουμε πολύ καλά. Ύστερα χαμηλώνουμε το μάτι και τηγανίζουμε τα ντόνατς και από τις δύο πλευρές μέχρι να ροδίσουν.